Следует ли играть в лотерею? Благоразумным принято считать ответ «нет». Старый афоризм говорит нам, что лотереи — это «налог на глупость», обеспечивающий правительству доход за счет людей, введенных в заблуждение настолько, что они готовы покупать лотерейные билеты. В книге «Как не ошибаться» приведены исследования о том, каков же реальный шанс выиграть в лотерею.
Адам Смит был противником лотерей. В своем труде The Wealth of Nations («Исследование о природе и причинах богатства народов») он писал: «О том, что шансы удачи естественно переоцениваются, мы можем судить по всеобщему успеху лотерей. На свете никогда не было и не будет вполне справедливой и честной лотереи, то есть такой, в которой все выигрыши уравновешивали бы все потери, ибо в таком случае устроитель ее не имел бы никакой выгоды.
В государственных лотереях билеты в действительности не стоят той цены, какую уплачивают за них первоначальные подписчики, а между тем они обычно продаются на рынке с надбавкой в 20, 30 и иногда 49%… В лотерее, в которой ни один выигрыш не превышал бы 20 ф., спрос на билеты был бы меньше, хотя бы эта лотерея в других от- ношениях была гораздо справедливее и честнее, чем обычные государственные лотереи. Чтобы заручиться большими шансами на получение одного из крупных выигрышей, некоторые люди покупают по нескольку билетов, а другие — мелкие доли еще большего количества их.
Однако одно из наиболее достоверных математических положений состоит в том, что чем больше билетов вы рискуете приобрести, тем скорее вы окажетесь в проигрыше. рискните на все билеты лотереи, и вы наверняка проиграете, и чем больше число ваших билетов, тем несомненнее ваш проигрыш».
Адам Смит, источник
Убедительность высказываний Смита и его достойное восхищения упорство в рассмотрении количественных показателей не должны скрыть от вас тот факт, что его вывод, строго говоря, неверен. Большинство игроков в лотерею сказали бы, что покупка двух лотерейных билетов вместо одного не увеличивает вероятность проигрыша, а в два раза повышает вероятность выигрыша.
И были бы правы! В лотерее с простой призовой структурой легко проверить все самостоятельно. Предположим, в лотерее 10 миллионов комбинаций чисел и только один победитель. Стоимость билетов 1 доллар, а приз — 6 миллионов долларов.
Человек, купивший все билеты до единого, потратит 10 миллионов долларов и получит приз в размере 6 миллионов долларов. Другими словами, как и говорил Смит, это явно проигрышная стратегия, которая обойдется игроку в 4 миллиона долларов.
Мелкий игрок, купивший всего один билет, находится в более выгодном положении: у него есть как минимум один шанс из 10 миллионов остаться с прибылью!
Но, что если вы купите два билета? В таком случае вероятность проигрыша сокращается, хотя, надо признать, всего с 9999999 из 10 миллионов до 9999998 из 10 миллионов. Чем больше билетов вы покупаете, тем больше снижается вероятность проигрыша, но только пока вы не купите 6 миллионов билетов. В этом случае вероятность выиграть приз, а значит, остаться при своих, составляет целых 60%, тогда как вероятность проиграть равна всего 40%. Вопреки утверждению Смита, покупка большего количества лотерейных билетов позволит вам снизить вероятность проигрыша.
Но если вы купите хотя бы еще один билет, потеря денег неизбежна (хотя о какой именно сумме идет речь, 1 доллар или 4000001 доллар, зависит от того, есть ли среди ваших билетов выигрышный).
Здесь трудно воссоздать ход рассуждений Смита, но вполне возможно, что он стал жертвой заблуждения «все линии являются прямыми», сделав вывод о том, что если покупка всех лотерейных билетов непременно приведет к потере денег, то и покупка большего количества билетов также приведет к повышению вероятности потери денег.
Человек, купивший один билет, почти полностью уверен, что потеряет деньги, но знает, что не потеряет много денег. Тот, кто купил 6 миллионов билетов, находится в гораздо более опасном положении. Скорее всего, вам все еще кажется, что оба эти решения не очень разумны. Как говорил Смит, если лотерея — это выигрышное дело для государства, значит, для каждого, кто находится по другую сторону сделки, это наверняка не лучший вариант.
Что такое ожидаемая ценность?
В аргументах Смита против лотерей отсутствует понятие ожидаемой ценности — математический формализм, отображающий ту интуитивную догадку, которую он сам и пытался сформулировать. Вот в чем суть этой концепции. Предположим, у нас есть предмет, имеющий неопределенную денежную стоимость, скажем лотерейный билет:
в 9999999 из 10000000 случаев билет ничего не стоит; в 1 из 10000000 случаев билет стоит 6 миллионов долларов.
Несмотря на эту неопределенность, нам все же может понадобиться присвоить лотерейному билету определенную ценность. Зачем? Что если какой-то человек предлагает людям заплатить по 1,2 доллара за их билеты? Целесообразно ли пойти на эту сделку и положить в карман 20 центов или лучше придержать билет? Это зависит от того, какую ценность вы присвоили этому билету — больше или меньше 1,2 доллара.
Вот как можно вычислить ожидаемую ценность лотерейного билета. Для каждого возможного результата необходимо умножить вероятность результата на ценность билета в случае получения этого результата. В нашем упрощенном примере существует только два варианта: проигрыш или выигрыш. Следовательно, вы получите такие числа:
9999999/10000000 × 0 долларов = 0; 1/10000000 × 6000000 долларов = 0,60 доллара. Затем необходимо сложить эти числа: 0 долларов + 0,60 доллара = 0,60 доллара.
Таким образом, ожидаемая ценность вашего лотерейного билета составляет 60 центов. Если какой-то фанат лотерей постучит в вашу дверь и предложит 1,2 доллара за ваш билет, ожидаемая ценность этого билета говорит о том, что вам следует пойти на эту сделку. В действительности ожидаемая ценность билета говорит, что вы вообще не должны были платить за него один доллар!
Не играйте в Powerball
В настоящее время американская государственная лотерея Powerball разыгрывается в сорока двух штатах, в округе Колумбия и на Виргинских островах США. Это невероятно популярная лотерея: иногда продается целых 100 миллионов билетов на один розыгрыш. В Powerball играют бедные люди, в Powerball играют те, кто уже разбогател. В Powerball играет мой отец, бывший президент Американской статистической ассоциации, а поскольку он покупает билеты и для меня, значит, и я тоже играю.
Разумно ли это?
Шестого декабря 2013 года, когда я пишу эти строки, джекпот состав- ляет довольно большую сумму, 100 миллионов долларов. И джекпот — это не единственный способ выиграть. Подобно многим другим лотереям, в Powerball действует многоуровневая система призов; более мелкие и чаще встречающиеся призы позволяют поддерживать у людей ощущение того, что в эту лотерею стоит играть.
С помощью ожидаемой ценности мы в состоянии сопоставить эти ощущения с математическими фактами. Вот как можно рассчитать ожидаемую ценность лотерейного билета за 2 доллара. Покупая билет, вы приобретаете следующее:
1 шанс из 175000000 выиграть джекпот 100 миллионов долларов;
1 шанс из 5000000 выиграть приз 1 миллион долларов;
1 шанс из 650000 выиграть приз 10 тысяч долларов;
1 шанс из 19000 выиграть приз 100 долларов;
1 шанс из 12000 выиграть другой приз 100 долларов; 1 шанс из 700 выиграть приз 7 долларов;
1 шанс из 360 выиграть другой приз 7 долларов;
1 шанс из 110 выиграть приз 4 доллара;
1 шанс из 55 выиграть другой приз 4 доллара.
Таким образом, ожидаемая сумма, которую вы можете выиграть, равна:
100 миллионов / 175 миллионов + 1 миллион / 5 миллионов + 10000 / / 650000 + 100 / 19000 + 100 / 12000 + 7 / 700 + 7 / 360 + 4 / 110 + 4 / 55, что составляет немногим менее 94 центов.
Другими словами, с точки зрения ожидаемой ценности лотерейный билет не стоит ваших двух долларов.
Если вы все-таки решились купить лотерейный билет, то почитайте книге «Как не ошибаться». В ней есть правила, в каких случаях играть в лотерею выгодно.
Фото обложки
