Джордан Элленберг — профессор математики в Висконсинском университете в Мадисоне, эксперт по теории чисел и алгебраической геометрии, автор статей в New York Times, the Washington Post и Wired, постоянный колумнист Slate. В своей книге «Как не ошибаться» Элленберг рассказывает об интересных и захватывающих фактах из мира математики и статистики. Ниже — один из них.
Лауреат Нобелевской премии по экономике за 1982 год Джордж Стиглер говорил: «Если вы никогда не опаздываете на самолет, значит, вы проводите слишком много времени в аэропорту». На первый взгляд это утверждение кажется парадоксальным, особенно если недавно вы действительно опоздали на самолет. Когда я застреваю в аэропорту О’Хара и ем там ужасный куриный ролл «Цезарь» за 12 долларов, я редко отдаю должное своему экономическому здравому смыслу. Однако, каким бы необычным ни казалось утверждение Стиглера, вычисление ожидаемой ценности показывает, что оно абсолютно корректно — во всяком случае для тех, кто много летает. Для простоты мы можем проанализировать всего три варианта.
Вариант 1. Прибытие в аэропорт за 2 часа до вылета, опоздание на самолет в 2% случаев.
Вариант 2. Прибытие в аэропорт за 1,5 часа до вылета, опоздание на самолет в 5% случаев.
Вариант 3. Прибытие в аэропорт за 1 час до вылета, опоздание на самолет в 15% случаев.
Безусловно, во сколько вам обойдется опоздание на самолет, в значительной мере зависит от ситуации: одно дело — опоздать на челночный рейс до округа Колумбия и сесть на следующий, и совсем другое — опоздать на последний рейс, пытаясь попасть на свадьбу, которая состоится завтра в десять утра. В лотерее как цена билета, так и размер приза выражены в долларах. Гораздо менее очевидно, как можно определить ценность времени, которое мы можем потратить зря, сидя в терминале аэропорта, в сравнении с ценностью опоздания на самолет. И то и другое вызывает раздражение, однако общепризнанной денежной единицы раздражения не существует.
Во всяком случае, такой денежной единицы нет на бумаге. Однако решения необходимо принимать, и экономисты стремятся рассказать нам, как это делать, а значит, необходимо сконструировать некую версию доллара раздражения. В экономике принято считать: если люди действуют рационально, они принимают решения, которые максимально увеличивают полезность этих решений. В жизни все имеет полезность; хорошие вещи, такие как деньги или торт, имеют положительную полезность, тогда как плохие вещи, такие как пальцы ног, которые вы ушибли, и самолеты, на которые вы опоздали, имеют отрицательную полезность. Некоторые даже предпочитают измерять полезность в стандартных единицах под названием «ютили» (Utils — «ютили; единицы полезности».).
Предположим, один час вашего времени дома стоит один ютиль; в таком случае прибытие в аэропорт за два часа до вылета обойдется вам в два ютиля, тогда как прибытие за один час — один ютиль. Опоздание на самолет явно хуже потраченного зря часа времени. Если вы считаете, что опоздание стоит шесть часов вашего времени, тогда можете приравнять упущенный рейс к шести ютилям.
Если мы переведем все в ютили, это позволит нам сравнить ожидаемую ценность трех стратегий.
Вариант 2 — именно тот, который в среднем обойдется вам в самое меньшее количество ютилей, хотя он и сопровождается ненулевой вероятностью опоздания на самолет. Да, надолго застрять в аэропорту — утомительно и неприятно, но разве настолько, чтобы раз за разом проводить лишних полчаса в терминале, чтобы сократить и без того небольшой шанс опоздать на самолет?
Может быть, вы ответите утвердительно. Может быть, вы не любите опаздывать на самолет, и опоздание обойдется вам в двадцать ютилей, а не в шесть. В таком случае представленные выше расчеты изменятся и предпочтительным станет консервативный вариант 1 с ожидаемой ценностью
—2 + 2% × (—20) = —2,4 ютиля.
Но это не значит, что Стиглер неправ; это просто переводит компромисс в другое место. Вы могли бы сократить вероятность опоздания на самолет еще больше, приехав в аэропорт за три часа до вылета. Тем не менее такой шаг, даже если он сократит вероятность опоздания до нуля, неизбежно обойдется вам в 3 ютиля, а это хуже варианта 1. Если отобразить на графике количество часов, которые вы проводите в аэропорту, вместе с ожидаемой ценностью каждого варианта, получится такая картина.
Но это же кривая Лаффера! Прибытие в аэропорт за пятнадцать минут до вылета сопряжено с высокой вероятностью опоздания со всей отрицательной полезностью, которую это подразумевает. С другой стороны, прибытие в аэропорт за много часов до вылета также обойдется вам во много ютилей.
Оптимальный образ действий находится где-то посередине, но где именно — зависит от вашего восприятия относительных преимуществ опоздания на самолет и напрасной потери времени. Если вы никогда не опаздываете на самолет, значит, ваш выбор смещен влево от оптимальной стратегии. Как и говорит Стиглер, вам следует экономить свои ютили и чаще опаздывать на самолет.
Безусловно, такие расчеты носят сугубо субъективный характер: ваш дополнительный час в аэропорту может обойтись вам не во столько же ютилей, во сколько обходится мне. (Я на самом деле терпеть не могу куриные роллы «Цезарь».) Следовательно, от этой теории нельзя ожидать, что она выдаст вам точное время прибытия в аэропорт или точное количество самолетов, на которые следует опоздать. Результат этих расчетов носит качественный, а не количественный характер. Я не знаю, какова самая подходящая для вас вероятность опоздания на самолет; я знаю только, что она не равна нулю.
Одно предостережение: на практике вероятность, близкую к нулю, бывает трудно отличить от нулевой вероятности. Если вы экономист мирового уровня, часто летающий на самолетах, принятие риска опоздания на самолет в размере 1% может означать, что вы будете опаздывать на самолет каждый год. Для большинства обычных людей такой низкий уровень риска мог бы означать, что они за всю свою жизнь не опоздают ни на один самолет. Следовательно, если 1% — приемлемый для вас уровень риска, и если вы всегда успеваете на самолет, то это не значит, что вы делаете что-то неправильно. Точно так же не следует использовать аргумент Стиглера для обоснования следующего утверждения: «Если вы никогда не разбивали машину вдребезги, значит, вы ездите слишком медленно». Стиглер сказал бы: если вы вообще не рискуете разбить свою машину вдребезги, значит, вы ездите слишком медленно, что совершенно верно: единственный способ полностью исключить риск состоит в том, чтобы вообще не ездить!
По материалам книги «Как не ошибаться».
